Jaké jsou extrémy f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 na [-oo, oo]?

Odpovědět:

#f (x) # má minimálně na # x = 2 #

Vysvětlení:

Před pokračováním si povšimněte, že se jedná o vzhůru směřující parabolu, což znamená, že bez dalšího výpočtu můžeme vědět, že nebude mít žádné maxima a jediné minimum na vrcholu. Dokončení náměstí nám to ukáže #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, udávajícím vrchol, a tedy jediné minimum, na #x = 2 #. Podívejme se, jak by se to dělo s kalkulem.

K jakémukoliv extrému dojde buď v kritickém bodě, nebo v koncovém bodě daného intervalu. Jako náš daný interval # (- oo, oo) # je otevřená, můžeme ignorovat možnost koncových bodů, a tak nejprve identifikujeme kritické body funkce, tj. bod, ve kterém je derivace funkce #0# nebo neexistuje.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Nastavení se rovná #0#, nacházíme kritický bod # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Nyní můžeme buď testovat, zda je to extrémum (a jaký typ) kontrolou některých hodnot #F# nebo pomocí druhého derivátového testu. Použijme to druhé.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Tak jako #f '' (2) = 6> 0 #, druhý derivační test nám to říká #f (x) # má místní minimum na adrese # x = 2 #

Tak, s použitím #f '(x) # a #f '' (x) #, zjistíme, že #f (x) # má minimálně na # x = 2 #, odpovídající výsledku, který jsme našli pomocí algebry.