Otázka # dbd28

Odpovědět:

Definujte vzdálenost mezi grafem a bodem jako funkci a najděte minimum.

Jde o to #(3.5,1.871)#

Vysvětlení:

Chcete-li vědět, jak blízko jsou, musíte znát vzdálenost. Euklidovská vzdálenost je:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

kde Δx a Δy jsou rozdíly mezi 2 body. Aby byl bod nejbližší, musí mít tento bod minimální vzdálenost. Proto jsme nastavili:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Nyní musíme najít minimum této funkce:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Jmenovatel je vždy kladný jako druhá odmocnina. Čitatel je kladný, když:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Funkce je tedy pozitivní, když #x> 3,5 #. Podobně lze prokázat, že je negativní, když #x <3,5 # Proto zde funguje funkce #f (x) # má minimálně na # x = 3,5 #, což znamená, že vzdálenost je nejméně na # x = 3,5 # Souřadnice y # y = x ^ (1/2) # je:

# y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1,871 #

Konečně, bod, kde je pozorována nejmenší vzdálenost (4,0) je:

#(3.5,1.871)#