Minimální hodnota f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 je?

#f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

# => f (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 # #

# => f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

Minimální hodnota každého čtvercového výrazu musí být nula.

Tak # f (x, y) _ "min" = - 3 #

Odpovědět:

Existuje relativní minimum na #(3/2,1/2)# a #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Vysvětlení:

Myslím, že musíme vypočítat částečné deriváty.

Tady, #f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

První parciální deriváty jsou

# (delf) / (delx) = 2x-6y #

# (delf) / (dely) = 26y-6x-4 #

Kritické body jsou

# {(2x-6y = 0), (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(x = 3/2), (y = 1/2):} #

Druhé částečné deriváty jsou

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 26 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

Determinant Hessian matice je

#D (x, y) = | ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (dely ^ 2), (del ^ 2f)) / (delydelx)) |

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Tak jako #D (x, y)> 0 #

a

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Existuje relativní minimum na #(3/2,1/2)#

A

#f (3 / 2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 * 0,5 ^ 2-6 * 1,5 * 0,5-4 * 0,5-2 = -3 #