U_1, u_2, u_3, ... jsou v geometrickém postupu (GP). Společný poměr termínů v řadě je K.Now určují součet série u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) ve formě K a u_1?

Odpovědět:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)) / (1-K ^ 2) #

Vysvětlení:

Obecný termín geometrické progrese může být napsán:

#a_k = a r ^ (k-1) #

kde #A# je počáteční termín a # r # společný poměr.

Součet # n # termíny jsou dány vzorcem:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#barva bílá)()#

S informacemi uvedenými v otázce, obecný vzorec pro #Spojené království# lze napsat:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Všimněte si, že:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Tak:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = součet (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (bílá) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (bílá) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # kde # a = u_1 ^ 2K # a #r = K ^ 2 #

#color (bílá) (součet (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (bílá) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)) / (1-K ^ 2) #