Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (1, 3), (5, 7) a (2, 3) #?

Odpovědět:

Orthocentre #triangle ABC # je #H (5,0) #

Vysvětlení:

Nechte trojúhelník ABC s rohy na

#A (1,3), B (5,7) a C (2,3).

tak, sklon # "řádek" (AB) = (7-3) / (5-1) = 4/4 = 1 #

Dovolit, #bar (CN) _ | _bar (AB) #

#:.# Sklon svahu # "řádek" CN = -1 / 1 = -1 #a prochází#C (2,3) #

#:.#Equn. z # "line" CN #,je:

# y-3 = -1 (x-2) => y-3 = -x + 2 #

#tj. x + y = 5 … až (1) #

Teď, svah # "řádek" (BC) = (7-3) / (5-2) = 4/3 #

Dovolit, #bar (AM) _ | _bar (BC) #

#:.# Sklon svahu # "řádek" AM = -1 / (4/3) = - 3/4 #a prochází#A (1,3). #

#:.#Equn. z # "line" AM #,je:

# y-3 = -3 / 4 (x-1) => 4y-12 = -3x + 3 #

#tj. 3x + 4y = 15 … až (2) #

Průsečík # "line" CN a "line" AM # je orthocenter # triangleABC #.

Takže řešíme equn. # (1) a (2) #

Vynásobte equn #(1)# podle #3# a odečítání od #(2)# dostaneme

# 3x + 4y = 15 … až (2) #

#ul (-3x-3y = -15) … do (1) xx (-3) #

# => y = 0 #

Z #(1)#, # x + 0 = 5 => x = 5 #

Proto, orthocentre #triangle ABC # je #H (5,0) #

……………………………………………………………………………

Poznámka:

Li # "line" l # prochází #P (x_1, y_1) a Q (x_2, y_2), pak #

#(1)#sklon # l # je # = m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#(2)#Equn. z # l # (projde thr ' #P (x_1, y_1) #,je:

# y-y_1 = m (x-x_1) #

#(3)# Li # l_1_ | _l_2, pak m_1 * m_2 = -1 => m_2 = -1 / m_1 #

#(4)# Orthocentre je bod, kde se protínají tři nadmořské výšky trojúhelníku.