Funkční kontinuální frakce (FCF) exponenciální třídy je definována a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Po nastavení a = e = 2.718281828 .., jak doložíte, že e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, téměř?

Odpovědět:

Viz vysvětlení …

Vysvětlení:

Nechat #t = a_ (cf) (x; b) #

Pak:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b)) = a ^ (x + b / t) #

Jinými slovy, # t # je pevný bod mapování:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Všimněte si, že sám # t # je pevný bod #F (t) # to nestačí #t = a_ (cf) (x; b) #. Mohou existovat nestabilní a stabilní pevné body.

Například, #2016^(1/2016)# je pevný bod #x -> x ^ x #, ale není řešením # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …)) = = 2016 # (Neexistuje žádné řešení).

Uvažujme však #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # a #t = 1.880789470 #

Pak:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Takže tato hodnota # t # je velmi blízko k pevnému bodu #F_ (a, b, x) #

Abychom dokázali, že je stabilní, považujeme derivaci za blízkou # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Najdeme tedy:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ ~ -0,5316916199 #

Protože toto je záporné a absolutní hodnoty menší než #1#, pevný bod na # t # je stabilní.

Všimněte si také, že pro všechny nenulové skutečné hodnoty # s # my máme:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

To je #F_ (e, 1,0.1) (s) # je striktně monotónně klesající.

Proto # t # je jedinečný stabilní pevný bod.

Odpovědět:

Smluvní chování.

Vysvětlení:

S #a = e # a #x = x_0 # iterace následuje jako

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # a také

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}}

Prozkoumejme podmínky pro kontrakci iteračního operátora.

Rozložení obou stran

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ale v první aproximaci

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

nebo

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} cca -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Potřebujeme kontrakci, kterou potřebujeme

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Toho je dosaženo, pokud

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Předpokládejme #b> 0 # a #k = 1 # my máme.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Tak dáno # x_0 # a # b # tento vztah nám umožňuje najít počáteční iteraci v rámci smluvního chování.