Jak mohu vyřešit tuto diferenciální rovnici?

Odpovědět:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Vysvětlení:

Toto je separovatelná diferenciální rovnice, což jednoduše znamená, že je možné seskupit #X# podmínky & # y # na opačných stranách rovnice. Takže tohle bude první:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Chceme se dostat dy na straně s y, a dx na straně s x. Budeme muset udělat trochu přeskupení:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Nyní integrujeme obě strany:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Udělejme postupně každý integrál:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Nejdříve je rozdělíme do dvou samostatných integrálů podle pravidla sčítání / odčítání:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Ty vypadají trochu nepříjemně. Můžeme jim však dát trochu člověka, aby vypadaly hezčí (a mnohem snazší je vyřešit):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Oba jsou nyní jednoduché # u #- substituční integrály. Pokud nastavíte #u = -x # a # -3x # Odpověď obdržíte jako:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Jsme-li negativní exponent pozitivní, dostaneme:

#int (ye ^ y) dy #

K tomu budeme muset použít integraci podle částí. Vzorec je:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Nastavíme #u = y #, a #dv = e ^ y dy #. Důvodem je, že chceme snadné # du # pro tuto konečnou integraci a také proto, že # e ^ y # integrace.

Tak:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Nyní jsme jen plug and chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Vložení všeho zpět:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Jak se zbavit negativních exponentů:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

A to je docela slušná konečná odpověď. Kdybyste chtěli vyřešit # y #, mohl bys a skončil bys

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Všimněte si, že nemáme # + C # na LHS této rovnice. Důvodem je to, že i kdybychom to dali, nakonec bychom ji odečetli od RHS a libovolná konstanta mínus libovolná konstanta je stále (čeká na ni) libovolná konstanta. Proto pro tyto problémy, pokud máte své # + C # na jedné straně rovnice budete v pořádku.

Doufám, že to pomohlo:)