Co je Infinity? + Příklad

Odpovědět:

To nemůže být zodpovězeno bez kontextu. Zde jsou některé z použití v matematice.

Vysvětlení:

Soubor má nekonečnou mohutnost, pokud může být mapován na sebe na vlastní podmnožinu. Toto není použití nekonečna v počtu.

V kalkulu používáme "nekonečno" 3 způsoby.

Intervalová notace:

Symboly # oo # (resp # -oo #) se používají k označení, že interval nemá pravý (resp. levý) koncový bod.

Interval # (2, oo) # je stejná jako sada #X#

Nekonečné limity

Pokud limit neexistuje, protože jako #X# přístupů #A#, hodnoty #f (x) # zvýšení bez vázání, pak píšeme #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Všimněte si, že výraz "bez vazby" je významný. Nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # rostou, ale jsou ohraničeny výše. (Nikdy se nedostanou ani neprojdou #1#.)

Limity u nekonečna

Fráze “limit u nekonečna” je používán ukázat, že my jsme se ptali, co se stane #f (x) # tak jako #X# zvyšuje bez vazby.

Příklady zahrnují

Limit jako #X# zvýšení bez vazby # x ^ 2 # neexistuje, protože #X# zvyšuje bez vázání, # x ^ 2 # také zvyšuje bez vazby.

To je napsáno #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # a často to čteme

"Limit jako #X# jde do nekonečna, z # x ^ 2 # je nekonečno"

Omezení #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # znamená, že

tak jako #X# zvyšuje bez vázání, # 1 / x # přístupů #0#.

Odpovědět:

Záleží na kontextu …

Vysvětlení:

#bb + - # Nekonečno a limity

Zvažte sadu reálných čísel # RR #, často zobrazený jako řádek se zápornými čísly vlevo a kladnými čísly vpravo. Můžeme přidat dva body # + oo # a # -oo # které nefungují jako čísla, ale mají následující vlastnosti:

#AA x v RR, -oo <x <+ oo #

Pak můžeme psát #lim_ (x -> + oo) # znamenat limit jako #X# dostane více a více pozitivní bez horní hranice a #lim_ (x -> - oo) # znamenat limit jako #X# dostane více a více negativní bez dolní hranice.

Můžeme také napsat výrazy jako:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… což znamená, že hodnota # 1 / x # zvyšuje nebo snižuje bez vázání jako #X# přístupů #0# „vpravo“ nebo „vlevo“.

Takže v těchto kontextech # + - oo # jsou skutečně zkráceny, aby vyjádřily podmínky nebo výsledky omezujících procesů.

Nekonečno jako dokončení # RR # nebo # CC #

Projekční linka # RR_oo # a Riemannova koule # CC_oo # jsou tvořeny přidáním jednoho volaného bodu # oo # na # RR # nebo # CC # - "bod v nekonečnu".

Pak můžeme definici funkcí rozšířit #f (z) = (az + b) / (cz + d) # být nepřetržitý a dobře definovaný na celém # RR_oo # nebo # CC_oo #. Tyto Möbiusovy transformace fungují obzvláště dobře #Vrkat#, kde mapují kruhy do kruhů.

Nekonečno v teorii množin

Velikost (Kardinál) množiny celých čísel je nekonečná, známá jako počítatelné nekonečno. Georg Cantor zjistil, že počet reálných čísel je přísně větší než toto počítatelné nekonečno. V teorii množin existuje celá řada nekonečností s rostoucími velikostmi.

Nekonečno jako číslo

Můžeme skutečně zacházet s nekonečny jako s čísly? Ano, ale věci nefungují tak, jak očekáváte po celou dobu. Mohli bychom například šťastně říci # 1 / oo = 0 # a # 1/0 = oo #, ale jaká je hodnota # 0 * oo? #

Tam jsou číselné systémy, které zahrnují infinites a infinitesimals (nekonečně malá čísla). Tyto poskytují intuitivní obraz o výsledcích limitních procesů, jako je diferenciace a lze s nimi zacházet přísně, ale existuje několik málo úskalí, kterým je třeba se vyhnout.