Otázka # ecc3a

Odpovědět:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Vysvětlení:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Odpovědět:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Vysvětlení:

Kdykoliv máme ve jmenovateli kvadratické číslo a ne #X#v čitateli chceme získat integrál do následujícího tvaru:

#int 1 / (1 + t ^ 2) d = tan ^ -1 (t) + C #

V našem případě to můžeme udělat vyplněním čtverce a následným použitím náhrady.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Chceme zavést u-substituci tak, aby:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Můžeme to vyřešit #X# zjistit, co tato substituce musí být:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

Integrovat s ohledem na # u #, násobíme derivací #X# s ohledem na # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4)

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) d = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) = =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Nyní můžeme vyřešit # u # ve smyslu #X# k náhradě:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

To znamená, že naše poslední odpověď je:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #