Otázka # 90cf3 + Příklad

Odpovědět:

Najít kořeny rovnic # e ^ x = x ^ 3 #, Doporučuji použít metodu rekurzivní numerické analýzy, nazvanou Newtonova metoda

Vysvětlení:

Udělejme příklad.

Chcete-li použít Newtonovu metodu, napište rovnici do formuláře #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Vypočítat #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Protože metoda vyžaduje, abychom prováděli stejný výpočet mnohokrát, dokud konverguje, doporučuji použít tabulku aplikace Excel; zbytek mé odpovědi bude obsahovat pokyny, jak to udělat.

Do buňky A1 zadejte dobrý odhad x. Pro tuto rovnici zadám 2.

Do buňky A2 zadejte následující:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Všimněte si prosím, že výše uvedené je jazyk Excelu pro jazyk

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Zkopírujte obsah buňky A2 do formátu A3 až A10. Po pouze 3 nebo 4 rekurzích můžete vidět, že se metoda sblížila

#x = 1.857184 #

Odpovědět:

Můžeme použít věty o střední hodnotě, abychom zjistili, že každý pár má alespoň jeden bod průniku.

Vysvětlení:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # je spojitá na celé reálné lince.

V # x = 0 #, my máme #f (0) = 1 #.

V # x = -1 #, my máme #f (-1) = 1 / e-1 # negativní.

#F# je nepřetržitý #-1,0#, takže je alespoň jeden #C# v #(-1,0)# s #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # je spojitá na celé reálné lince.

V # x = 0 #, my máme #g (0) = 1 #.

V # x = 2 #, my máme #g (2) = e ^ 2-8 # negativní.

(Všimněte si, že # e ^ 2 ~ ~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

#G# je nepřetržitý #0,2#, takže je alespoň jeden #C# v #(0,2)# s #g (c) = 0 #.