Jak se dělí (-i-5) / (i -6) v trigonometrickém tvaru?

# (- i-5) / (i-6) #

Dovolte mi to změnit

# (- i-5) / (i-6) = (- 5-i) / (- 6 + i) = (- (5 + i)) / (- 6 + i) = (5 + i) / (6-i) #

Nejprve musíme tyto dvě čísla převést na trigonometrické formy.

Li # (a + ib) # je komplexní číslo, # u # je jeho velikost a # alpha # je jeho úhel # (a + ib) # v goniometrickém tvaru je psán jako #u (cosalpha + isinalpha) #.

Velikost komplexního čísla # (a + ib) # darováno#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a jeho úhel je dán # tan ^ -1 (b / a) #

Nechat # r # být velikost # (5 + i) # a # theta # být jeho úhel.

Velikost # (5 + i) = sqrt (5 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (25 + 1) = sqrt26 = r #

Úhel # (5 + i) = Tan ^ -1 (1/5) = theta #

#implies (5 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Nechat # s # být velikost # (6-i) # a # phi # být jeho úhel.

Velikost # (6-i) = sqrt (6 ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (36 + 1) = sqrt37 = s #

Úhel # (6-i) = Tan ^ -1 ((- 1) / 6) = phi #

#implies (6-i) = s (Cosphi + isinphi) #

Nyní,

# (5 + i) / (6-i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #)

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Zde máme každou přítomnou věc, ale pokud přímo nahradí hodnoty, slovo by bylo pro hledání únavné #theta -phi # tak ať to nejdříve zjistíme # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) #

Víme, že:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) = tan ^ -1 (((1/5) - (- 1/6)) / (1+ (1 / 5) ((- 1) / 6))) #

# = tan ^ -1 ((6 + 5) / (30-1) = tan ^ -1 (11/29) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (11/29) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = sqrt26 / sqrt37 (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))) #

# = sqrt (26/37) (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))) #

To je vaše poslední odpověď.

Můžete to také udělat jinou metodou.

Prvním dělením komplexních čísel a jejich změnou na trigonometrický tvar, což je mnohem jednodušší než toto.

Nejprve zjednodušíme dané číslo

# (5 + i) / (6-i) #.

Vynásobte a vydělte konjugátem komplexního čísla přítomného ve jmenovateli, t.j. # 6 + i #.

# (5 + i) / (6-i) = ((5 + i) (6 + i)) / ((6-i) (6 + i)) = (30 + 5i + 6i + i ^ 2) / (6 ^ 2-i ^ 2) #

# = (30 + 11i-1) / (36 - (- 1)) = (29 + 11i) / (36 + 1) = (29 + 11i) / 37 = 29/37 + (11i) / 37 #

# (5 + i) / (6-i) = 29/37 + (11i) / 37 #

Nechat # t # být velikost # (29/37 + (11i) / 37) # a #beta# být jeho úhel.

Velikost # (29/37 + (11i) / 37) = sqrt ((29/37) ^ 2 + (11/37) ^ 2) = sqrt (841/1369 + 121/1369) = sqrt (962/1369) = sqrt (26/37) = t #

Úhel # (29/37 + (11i) / 37) = Tan ^ -1 ((11/37) / (29/37)) = tan ^ -1 (11/29) = beta #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = sqrt (26/37) (Cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29)) #.