Odpovědět:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Vysvětlení:
Aby tento problém dával smysl # 4-9x ^ 2> = 0 #, tak # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Proto si můžeme vybrat # 0 <= u <= pi # takové # x = 2 / 3cosu #. Pomocí tohoto můžeme proměnnou x v integrálu použít # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # tady to používáme # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # a to pro # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Nyní používáme integraci podle jednotlivých částí # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu # 2. Proto # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Tak jsme našli #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, teď nahrazujeme #X# zpět # u #, použitím # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, tak #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Můžeme to dále zjednodušit pomocí definice sinusů a kosinusů z hlediska trojúhelníků. Pro pravý trojúhelník s úhlem # u # v jednom z neoriginálních rohů, # sinu = "opačná strana" / "nejdelší strana" #, zatímco # cosu = "sousední strana" / "nejdelší strana" #, protože víme # cosu = (3x) / 2 #, můžeme vybrat sousední stranu, která má být # 3x # a nejdelší strana #2#. Pomocí Pythagorova věty najdeme opačnou stranu #sqrt (4-9x ^ 2) #, tak #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Proto #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
