Laskavě to vyřešíte? která možnost je správná?

Toto je snadno viditelné jako neproveditelné elementárními prostředky, tak jsem to vyřešil číselně a dostal:

Vyhodnotil jsem integrál #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Do té doby to bylo jasně dosaženo #0.5#.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

nebo

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Za předpokladu, že jedna z odpovědí je pravdivá, se zdá, že nejpřirozenější je čtvrtá 4)

POZNÁMKA

pro #x v 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Odpovědět:

#1/2#

Vysvětlení:

Jak již bylo uvedeno v předchozím řešení, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

existuje a je ohraničen:

# 1/2 le I_n <1 #

Nyní integrace podle výnosů dílů

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n krát (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Od té doby # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # v #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

Od té doby #lim_ (n až oo) I_n # existuje, máme

#lim_ (n až oo) J_n = lim_ (n až oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n až oo) 2 / (n + 2) časy lim_ (n až oo) I_ (n + 2) = 0 #

Proto

# lim_ (n až oo) I_n = 1/2 #