Otázka # 69feb

Odpovědět:

Normální řádek: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tečna: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Vysvětlení:

Pro intuici: Představte si, že funkce #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # popisuje výšku nějakého terénu, kde #X# a # y # jsou souřadnice v rovině a #ln (y) # se předpokládá přirozený logaritmus. Pak všechno # (x, y) # takové #f (x, y) = a # (výška) se rovná určité konstantě #A# se nazývají křivky úrovně. V našem případě konstantní výška #A# je nula, protože #f (x, y) = 0 #.

Možná jste obeznámeni s topografickými mapami, ve kterých uzavřené linie označují čáry stejné výšky.

Teď gradient #grad f (x, y) = ((částečný f) / (částečný x), (částečný f) / (částečný x)) (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # nám dává směr v bodě # (x, y) # ve kterém #f (x, y) # (výška) se změní nejrychleji. To je buď rovně nahoru nebo rovně dolů z kopce, pokud je náš terén hladký (diferencovatelný) a nejsme nahoře, dole nebo na plošině (extrémní bod). Toto je ve skutečnosti normální směr ke křivce konstantní výšky, takový jako u # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Proto normální řádek v tomto směru prochází # (2, e ^ 2) # lze popsat jako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, kde #s v mathbbR # je skutečný parametr. Můžete odstranit # s # vyjádřit # y # jako funkce #X# pokud chcete, najít

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Směrová derivace ve směru tangence musí být #0# (což znamená, že výška se nemění), tedy tečný vektor # (u, v) # musí splňovat

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, kde # cdot # znamená bodový produkt. Tak # (u, v) = (1, e ^ 2) # je jedna platná volba. Proto tečna procházejí # (2, e ^ 2) # lze popsat jako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #tv mathbbR #.

Řešení pro # y # dává to

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Měli byste to konečně zkontrolovat # (2, e ^ 2) # leží na křivce #f (x, y) #, na tečné čáře a na normální čáře.