S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Vytvoření vzorce r.

Odpovědět:

Toto není obecně možné …

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

V ideálním případě chceme odvodit vzorec jako:

#r = "nějaký výraz v" s, n, a #

To nebude možné pro všechny hodnoty # n #. Například, kdy # n = 1 # my máme:

#s = (a (r ^ barva (modrá) (1) -1)) / (r-1) = a #

Pak # r # může mít jakoukoli hodnotu kromě #1#.

Také si všimněte, že pokud # a = 0 # pak # s = 0 # a znovu # r # může mít jakoukoli hodnotu kromě #1#.

Podívejme se, jak daleko se můžeme obecně dostat:

Nejprve vynásobte obě strany dané rovnice # (r-1) # dostat:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Vynásobením obou stran se to stane:

# sr-s = ar ^ n-a #

Poté odečteme levou stranu z obou stran:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Za předpokladu #a! = 0 #, můžeme to rozdělit #A# získat monickou polynomiální rovnici:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Všimněte si, že pro všechny hodnoty #tak jako# a # n # jeden kořen tohoto polynomu je # r = 1 #, ale to je vyloučená hodnota.

Pokusme se to vyloučit # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (bílá) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (bílá) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Takže dělení # (r-1) # dostaneme:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Řešení tohoto budou mít velmi odlišné formy pro různé hodnoty # n #. Mezitím #n> = 6 #není obecně řešitelný radikály.