Jaké jsou lokální extrémy f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Odpovědět:

Parabolae mají přesně jeden extrém, vrchol.

to je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Od té doby # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # všude je funkce všude konkávní a tento bod musí být minimální.

Vysvětlení:

Máte dva kořeny k nalezení vrcholu parabola: jeden, použít k nalezení, derivace je nula; dva, vyhnout se kalkulu za každou cenu a jen dokončit náměstí. Budeme používat kalkul pro praxi.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, musíme z toho odvodit.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Linearitou derivátu, který máme

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Použití pravidla napájení # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # my máme

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Toto jsme nastavili na nulu, abychom našli kritické body, lokální a globální minima a maxima a někdy body inflexe mají nulovou derivaci.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

takže máme jeden kritický bod # x = -9 / 2 # nebo #-4 1/2#.

Najít souřadnici y kritického bodu, ve kterém se nacházíme # x = -9 / 2 # zpět do funkce, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kritický bod / vrchol je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Víme to, protože #a> 0 #, to je maximum.

Abychom formálně zjistili, zda se jedná o maxima nebo minima, musíme provést druhý derivační test.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Druhý derivát je 2 na všech hodnotách x. To znamená, že je všude větší než nula a funkce je konkávní všude (je to parabola #a> 0 # Koneckonců), takže extrém musí být minimální, vrchol.