Co je to kusově spojitá funkce? + Příklad

Odpovědět:

Kusová spojitá funkce je funkce, která je spojitá kromě u konečného počtu bodů v jeho doméně.

Vysvětlení:

Všimněte si, že body nespojitosti kusově spojité funkce nemusí být odstranitelné nespojitosti. To znamená, že nevyžadujeme, aby tato funkce mohla být průběžně předefinována v těchto bodech. Stačí, když tyto body vyloučíme z domény, pak je funkce na omezené doméně nepřetržitá.

Zvažte například funkci:

#s (x) = {(-1, "pokud x <0"), (0, "pokud x = 0"), (1, "pokud x> 0"):} #

graf {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

To je nepřetržité pro všechny #x v RR # až na #x = 0 #

Diskontinuita na # x = 0 # není odstranitelný. Nemůžeme předefinovat #s (x) # v tomto bodě a získat nepřetržitou funkci.

V # x = 0 # graf funkce „skoky“. Více formálně, v jazyce omezení zjistíme:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Levý a pravý limit tedy nesouhlasí s hodnotou funkce na # x = 0 #.

Pokud vyloučíme konečnou množinu nespojitostí z domény, pak bude funkce omezená na tuto novou doménu spojitá.

V našem příkladu, definice #s (x) # jako funkce od # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # je spojitá.

Pokud graf #s (x) # omezena na tuto doménu, stále vypadá, že je přerušovaná #0#, ale #0# není součástí domény, takže „skok“ je irelevantní. V každém bodě, libovolně blízko #0#, můžeme si vybrat malý otevřený interval kolem něj, ve kterém je funkce (konstantní a proto) spojitá.

Mírně zmateně, funkce #tan (x) # je považován za spojitý - spíše než za kusový spojitý, protože asymptoty na #x = pi / 2 + n pi # jsou z domény vyloučeny.

graf {tan (x) -10,06, 9,94, -4,46, 5,54}

Mezitím fungují pilky #f (x) = x - podlaha (x) # není považován za kusově spojitý jako funkce od # RR # na # RR #, ale je po částech kontinuální v libovolném časovém intervalu.

graf {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}