Jak integrovat sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Odpovědět:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Vysvětlení:

Vzhledem k tomu, že je snazší vypořádat se jen s jedním #X# pod druhou odmocninou dokončíme náměstí:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Nyní musíme udělat goniometrickou substituci. Budu používat hyperbolické trig funkce (protože secant integrál obvykle nejsou moc pěkné). Chceme použít následující identitu:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

K tomu chceme # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Můžeme to vyřešit #X# získat, jakou náhradu potřebujeme:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Integrovat s ohledem na # theta #, musíme násobit derivací #X# s ohledem na # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Nyní můžeme použít identitu # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4krát sinh ^ 2 (theta)

Nyní používáme identitu:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int koše (2theta) -1 d theta = int 2sh (2theta) d theta-2theta = #

Mohli bychom udělat explicitní u-substituci # 2cosh (2theta) #, ale je jasné, že odpověď je #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Nyní musíme substituci zrušit. Můžeme to vyřešit # theta # dostat:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

To dává:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #