Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) v [0,20]?

Odpovědět:

Absolutní minimum je #0#, ke kterému dochází na #x = 0 # a # x = 20 #.

Absolutní maximum je # 15root (3) 5 #, ke kterému dochází na #x = 5 #.

Vysvětlení:

Možné body, které by mohly být absolutní extrémy, jsou:

Body otáčení; tj. body, kde # dy / dx = 0 #

Koncové body intervalu

Už máme své koncové body (#0# a #20#), tak pojďme najít naše body obratu:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Takže je zlom, kde #x = 5 #. To znamená, že 3 možné body, které by mohly být extrémy, jsou:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Zapojme tyto hodnoty do #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = barva (červená) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = kořen (3) (5) * 15 = barva (červená) (15root (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = kořen (3) (20) * 0 = barva (červená) 0 #

Proto na intervalu #x v 0, 20 #:

Absolutní minimum je #color (červená) 0 #, ke kterému dochází na #x = 0 # a # x = 20 #.

Absolutní maximum je #color (červená) (15root (3) 5) #, ke kterému dochází na #x = 5 #.

Konečná odpověď