Máme polovinu válcové střechy o poloměru r a výšce r namontované na vrcholu čtyř obdélníkových stěn výšky h. Pro konstrukci této konstrukce používáme 200π m ^ 2 plastové fólie. Jaká je hodnota r, která umožňuje maximální objem?

Odpovědět:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Vysvětlení:

Dovolte mi, abych otázku zopakoval, jak jsem pochopil.

Za předpokladu, že povrchová plocha tohoto objektu je # 200pi #, maximalizujte hlasitost.

Plán

Známe-li plochu, můžeme představovat výšku # h # jako funkce poloměru # r #, pak můžeme reprezentovat objem jako funkci pouze jednoho parametru - poloměru # r #.

Tuto funkci je třeba maximalizovat # r # jako parametr. To dává hodnotu # r #.

Povrchová plocha obsahuje:

4 stěny, které tvoří boční povrch rovnoběžnostěnu s obvodem základny # 6r # a výška # h #, které mají celkovou rozlohu # 6rh #.

1 střecha, polovina bočního povrchu válce o poloměru # r # a výš # r #, která má oblast #pi r ^ 2 #

2 strany střechy, polokruhy o poloměru # r #, jejíž celková plocha je. t #pi r ^ 2 #.

Výsledná celková plocha povrchu objektu je

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Vědět, že se to rovná # 200pi #, můžeme vyjádřit # h # ve smyslu # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Objem tohoto objektu má dvě části: pod střechou a uvnitř střechy.

Pod střechou máme rovnoběžnostěn s plochou základny # 2r ^ 2 # a výška # h #, to je jeho objem

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Uvnitř střechy máme půl válce s poloměrem # r # a výška # r #, jeho objem je

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Musíme tuto funkci maximalizovat

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

to vypadá takto (není měřítko)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Tato funkce dosahuje svého maxima, když je derivát roven nule pro pozitivní argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

V oblasti #r> 0 # rovná se nule, když # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

To je poloměr, který dává největší objem, vzhledem k ploše povrchu a tvaru objektu.