Nalezení (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) za použití přídavných vzorců?

Odpovědět:

Ty jsou správné, s výjimkou (ii) je obrácena. #tan (A + B) # mělo by #4/3# tak jako #sin (A + B) = 4/5 # a #cos (A + B) = 3/5 #.

Vysvětlení:

Zábava. Dáno #cos (A + B) = 3/5 quad a quad cos A cos B = 7/10 #

Podívejme se na příslušné identity.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # volba (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sq {1- (3/5) ^ 2} = 4/5 #

#A# a # B # jsou akutní, # A + B <180 ^ circ # tak pozitivní sinus:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # Žádný z výše uvedených

Jeden vzorec dvojitého úhlu je #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # tak

#sin ((A + B) / 2) = pm sq {1/2 (1 - cos (A + B))} # #

Průměr #A# a # B # je akutní, takže volíme pozitivní znamení.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # volba (iii)

Jedna ze tří špatných, B-.

Odpovědět:

S laskavým odkazem na Vysvětlení Sekce.

Vysvětlení:

Vzhledem k tomu #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Proto, # tanAtanB = 1/7 …………. "Ans." (i) #.

Vzhledem k tomu # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Přidání, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) v Q_1uuQ_2 #.

Ale, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) v Q_1 #.

Nyní, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "ale, protože," (A + B) v Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

opálení (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii) #.

Konečně, najít #sin ((A + B) / 2), "let," (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Nyní," cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … protože, "Addition Formula" #

#:. cos ^ 2theta-sin2theta = 3/5, tj. #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, nebo, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Od té doby, # (A + B) = 2theta # leží v # Q_1, "so does" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.