Jaký je význam parciálního derivátu? Uveďte příklad a pomozte mi stručně porozumět.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Doufám, že to pomůže.

Parciální derivát je v podstatě spojen s celkovou variací.

Předpokládejme, že máme nějakou funkci #f (x, y) # a chceme vědět, kolik se mění, když do každé proměnné zavádíme přírůstek.

Stanovení nápadů, tvorba #f (x, y) = k x y # chceme vědět, kolik to je

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

V našem funkčním příkladu máme

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

a pak

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Výběr #dx, dy # tak malé #dx dy cca 0 # a pak

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ale obecně

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

nyní #dx, dy # máme svévolně malé

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

takže můžeme vypočítat celkovou variaci dané funkce výpočtem parciálních derivátů #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # a míchání

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Tady, množství #f_ (x_i) # se nazývají parciální deriváty a mohou být také reprezentovány jako

# (částečný f) / (částečný x_i) #

V našem příkladu

#f_x = (částečný f) / (částečný x) = k x # a

#f_y = (částečný f) / (částečný y) = k y #

POZNÁMKA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Pro doplnění výše uvedené Cesareovy odpovědi uvedu méně matematicky přísnou úvodní definici.

Parciální derivace, volně mluvící, nám říká, jak moc se bude měnit multi-variabilní funkce když drží jiné proměnné konstantní. Předpokládejme například, že jsme dali

#U (A, t) = A ^ 2t #

Kde # U # je funkce (štěstí) konkrétního produktu, #A# je množství produktu a # t # je doba, po kterou je produkt používán.

Předpokládejme, že společnost, která vyrábí výrobek, by chtěla vědět, jak mnohem více užitku z něj mohou získat, pokud prodlouží životnost výrobku o 1 jednotku. Dílčí derivát oznámí společnosti tuto hodnotu.

Částečná derivace je obecně označena malými řeckými písmeny delta (#částečný#), ale existují i jiné zápisy. Budeme používat #částečný# pro teď.

Snažíme-li se zjistit, jak moc se mění produkt s časem o 1 jednotku, počítáme částečnou derivaci utility s ohledem na čas:

# (částečný) / (částečný) #

Pro výpočet PD, držíme jiné proměnné konstantní. V tomto případě jsme se léčit # A ^ 2 #, druhá proměnná, jako by to bylo číslo. Připomeňme si z úvodního počtu, že derivace konstantních časů proměnné je jen konstanta. Je to stejná myšlenka zde: (částečná) derivace # A ^ 2 #, konstantní, časy # t #, proměnná je jen konstanta:

# (částečný) / (částečný) = A ^ 2 #

Tak se zvýší 1 jednotka v době, kdy se produkt použije # A ^ 2 # více užitečnosti. Jinými slovy, výrobek se stává uspokojivějším, je-li schopen být používán častěji.

O parciálních derivátech lze říci mnohem, mnohem více, ve skutečnosti mohou být celé bakalářské a postgraduální kurzy věnovány řešení pouze několika typů rovnic zahrnujících parciální derivace - ale základní myšlenkou je, že částečná derivace nám říká, kolik jich je. proměnné, když ostatní zůstanou stejné.