Jaká je druhá derivace x = t ^ 2 + t, y = e ^ t?

Odpovědět:

# (d ^ 2y) / dx ^ 2 = ((2t-1) e ^ t) / (2t + 1) ^ 3, tne-1 / 2. #

První derivace funkce, která je definována parametricky

tak jako, # x = x (t), y = y (t), # darováno, # dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt); dx / dtne0 … (ast) #

Nyní, # y = e ^ t rArr dy / dt = e ^ t, a x = t ^ 2 + t rArr dx / dt = 2t + 1. #

# protože dx / dt = 0 rArr t = -1 / 2,:., t ne-1/2 rArr dx / dt! = 0. #

#:., by (ast), dy / dt = e ^ t / (2t + 1), tne-1 / 2. #

Proto # (d ^ 2y) / dx ^ 2 = d / dx {dy / dx}, ……. "Defn.," # #

# = d / dx {e ^ t / (2t + 1)} #

Všimněte si, že zde chceme dif., W.r.t. #X#, zábava. z # t #, tak, my

používat Řetězové pravidlo, a proto musíme První

diff. zábava. w.r.t. # t # a pak násobit tohoto derivátu # dt / dx.

Symbolicky, toto je reprezentováno, # (d ^ 2y) / dx ^ 2 = d / dx {dy / dx} = d / dx {e ^ t / (2t + 1)} # #

# = d / dt {e ^ t / (2t + 1)} * dt / dx #

# = {(2t + 1) d / dt (e ^ t) -e ^ td / dt (2t + 1)} / (2t + 1) ^ 2 dt / dx #

# = {(2t + 1) e ^ t-e ^ t (2)} / (2t + 1) ^ 2 dt / dx #

# = ((2t-1) e ^ t) / (2t + 1) ^ 2 * dt / dx #

A konečně s t # dt / dx = 1 / {dx / dt}, #usuzujeme, # (d ^ 2) / dx ^ 2 ((2t-1) e ^ t) / (2t + 1) ^ 2 * (1 / (2t + 1)), tj. #

# (d ^ 2y) / dx ^ 2 = ((2t-1) e ^ t) / (2t + 1) ^ 3, tne-1 / 2. #

Užijte si matematiku!