Jak zjistíte polynomiální funkci s kořeny 1, 7 a -3 multiplicity 2?

Odpovědět:

#f (x) = 2 (x-1) (x-7) (x + 3) = 2x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21 #

Vysvětlení:

Pokud jsou kořeny 1,7, -3, pak ve faktickém tvaru bude polynomická funkce:

#f (x) = A (x-1) (x-7) (x + 3) #

Opakujte kořeny, abyste získali požadovanou multiplicitu:

#f (x) = (x-1) (x-7) (x + 3) (x-1) (x-7) (x + 3) #

Odpovědět:

Nejjednodušší polynom s kořeny #1#, #7# a #-3#, každý s multiplicitou #2# je:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

Vysvětlení:

Libovolný polynom s těmito kořeny s alespoň těmito multiplicitami bude násobkem #f (x) #, kde …

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (x ^ 3-5x ^ 2-17x + 21) ^ 2 #

# = x ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… alespoň si myslím, že jsem to správně rozmnožil.

Zkontrolujme #f (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 1 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -3, jak zjistíte možný vzorec pro P (X)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Každý kořen odpovídá lineárnímu faktoru, takže můžeme napsat: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Libovolný polynom s těmito nulami a alespoň těmito násobky bude násobek (skalární nebo polynomiální) tohoto P (x) Poznámka pod čarou Přísně vzato, hodnota x, která má za následek P (x) = 0, se nazývá kořen P (x) = 0 nebo nula P (x). Otázka by tedy měla skutečně mluvit o nulách P (x) nebo o kořenech P (x) = 0.

Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 1 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -1 Najděte možný vzorec pro P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 2 při x = 1, víme, že P (x) má faktor (x-1) ^ 2 Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 2 při x = 0, víme, že P (x) má faktor x ^ 2 Vzhledem k tomu, že máme kořen multiplicity 1 při x = -1, víme, že P (x) má faktor x + 1 My jsme dali, že P (x) je polynom stupně 5, a proto jsme identifikovali všech pět kořenů a faktorů, takže můžeme napsat P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Můžeme tedy psát P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Víme také, že počáteční koeficient je 1 =>

Polynomiální stupeň 5, P (x) má počáteční koeficient 1, má kořeny multiplicity 2 při x = 3 a x = 0 a kořen multiplicity 1 při x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "daný" x = a "je kořen polynomu, pak" (xa) "je faktor polynomu" "pokud" x = a "multiplicity 2 pak" (xa) ^ 2 "je faktor polynomu" "zde" x = 0 "multiplicita 2" rArrx ^ 2 "je faktor" "také" x = 3 "multiplicita 2" rArr (x-3) ^ 2 "je faktor" "a" x = -1 "multiplicita 1" rArr (x + 1) "je faktor" "polynom je součin jeho faktorů" P (x) = = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) barva (bílá) (P (x)) = x ^ 2 (x ^ 2-6x + 9) (x + 1