Polygon QRST má vrcholy Q (4 1/2, 2), R (8 1/2, 2) S (8 1/2, -3 1/2) a T (4 1/2, -3 1/2 ). Je mnohoúhelník QRST obdélník?

Odpovědět:

# QRST # je obdélník

Vysvětlení:

#Q (4 1/2, 2), R (8 1/2, 2) S (8 1/2, -3 1/2) a T (4 1/2, -3 1/2).

Chcete-li se rozhodnout, zda se jedná o obdélník nebo ne, máme na výběr z následujících možností:

Dokázat to:

1. 2 páry stran jsou rovnoběžné a jeden úhel je 90 °
2. 2 páry protilehlých stran jsou stejné a jeden úhel je 90 °
3. 1 pár stran je rovnoběžný a rovný a jeden úhel je 90 °
4. Všechny čtyři úhly jsou 90 °
5. Diagonály jsou stejné a navzájem se rozdělují. (stejný střed)

Půjdu s možností 1, protože to vyžaduje pouze nalezení sklonu každé ze 4 řádků.

Všimněte si, že:

body Q a R mají stejné hodnoty # y # hodnota # hArr # vodorovná čára

body S a T mají stejné hodnoty # y # hodnota # hArr # vodorovná čára

body Q a T mají stejné hodnoty #X# hodnota # hArr # svislá čára

body R a S jsou stejné #X# hodnota # hArr # svislá čára

Proto musí být QRST obdélník, protože vodorovné a svislé čáry se setkávají v úhlu 90 °.

Protilehlé strany jsou proto rovnoběžné a rovné a úhly jsou 90 °

Odpovědět:

Viz vysvětlení.

Vysvětlení:

Vektory polohy k vrcholům jsou

# OQ = <4 1/2, 2>, OR = <8 1/2, 2>, OS = <8 1/2>, -31/2> a

# OT = <4 1/2, -3 1/2> #

Vektory pro strany jsou

# QR #

# = OR -OQ = <4, 0> a #, podobně,

# RS = <0, -5 1/2>, ST = <- 4, 0> a TQ = <0, 5 1/2> #

Použití vektorů V a kV jsou (podobně nebo na rozdíl od) paralelní vektory.

Opačné strany stran # QR = -ST a RS = -TQ #.

Na obrázku je tedy rovnoběžník.

Je-li jeden z vrcholových úhlů # pi / 2 #, QRST je obdélník

Produkt dot # QR.RS = (4) (0) + (0) (- 5 1/2) = 0 #.

QRST je tedy obdélník.

Tato metoda je použitelná pro jakýkoliv čtyřhranný QRST.