Co je integrál int tan ^ 4x dx?

Odpovědět:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Vysvětlení:

Řešení trig antiderivatives obvykle zahrnuje rozbití integrálu dolů aplikovat Pythagorean identity, a oni používat # u #- náhrada. To je přesně to, co budeme dělat tady.

Začněte přepisováním # inttan ^ 4xdx # tak jako # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Nyní můžeme použít Pythagorean Identity # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, nebo # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuce # tan ^ 2x #:

#color (bílá) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Použití pravidla součtu:

#color (bílá) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Tyto integrály budeme vyhodnocovat jeden po druhém.

První integrál

Ten se řeší pomocí a # u #- náhrada:

Nechat # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Použití substituce, #color (bílá) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (bílá) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Protože # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Druhý integrál

Protože nevíme co # inttan ^ 2xdx # je jen při pohledu na to, zkuste použít # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identita znovu:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Pomocí pravidla součtu se integrál sníží na:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

První z nich, # intsec ^ 2xdx #, je jen # tanx + C #. Druhý, takzvaný „dokonalý integrál“, je jednoduše # x + C #. Když to všechno dáme dohromady, můžeme říci:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

A protože # C + C # je jen další libovolná konstanta, můžeme ji zkombinovat do obecné konstanty #C#:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Spojením obou výsledků máme:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Opět, protože # C + C # je konstanta, můžeme je spojit do jednoho #C#.