Jaká je vrcholová forma 4y = 5x ^ 2 -7x +3?

Odpovědět:

# y = barva (zelená) (5/4) (barva x (červená) (7/10)) ^ 2 + barva (modrá) (11/80) #

Vysvětlení:

Pamatujte, že forma vertexu (náš cíl) je obecně

#color (bílá) ("XXX") y = barva (zelená) m (barva x (červená) a) ^ 2 + barva (modrá) b # s vrcholem na # (barva (červená) a, barva (modrá) b) #

Dáno

#color (bílá) ("XXX") 4y = 5x ^ 2-7x + 3 #

Budeme muset všechno rozdělit #4# izolovat # y # na pravé straně

#color (bílá) ("XXX") y = 5 / 4x ^ 2-7 / 4x + 3/4 #

Nyní můžeme extrahovat #color (zelená) m # faktor z prvních dvou termínů:

#color (bílá) ("XXX") y = barva (zelená) (5/4) (x ^ 2-7 / 5x) + 3/4 #

Chceme psát # (x ^ 2-7 / 5x) # jako čtvercový binomický vložením nějaké konstanty (která bude muset být odečtena někde jinde).

Pamatujte si, že čtvercový binomický

#color (bílá) ("XXX") (x + p) ^ 2 = (x ^ 2 + (2p) x + p ^ 2) #

protože koeficient #X# období # (x ^ 2-7 / 5x) # je #(-7/5)#

naší hodnotu # 2p = -7 / 5 rarr p = -7 / 10 rarr p ^ 2 = 49/100 #

Musíme tedy vložit termín #color (magenta) ((- 7/10) ^ 2) = barva (purpurová) (49/100) # do faktoru # (x ^ 2-7 / 5x) # dělat to # (x ^ 2-7 / 5 + barva (purpurová) ((- 7/10) ^ 2)) #

… ale nezapomeňte, že tento faktor je násoben #color (zelená) (5/4) #

tak, abychom vyvažovali věci, budeme muset odečíst #color (zelená) (5/4) xx barva (purpurová) (49/100) = barva (hnědá) (49/80) #

Naše rovnice nyní vypadá

#color (bílá) ("XXX") y = barva (zelená) (5/4) (x ^ 2-7 / 5 + barva (purpurová) ((- 7/10) ^ 2)) + 3 / 4- barva (hnědá) (49/80) #

Psaní s kvadratickým binomiem a zjednodušením konstantních termínů:

#color (bílá) ("XXX") y = barva (zelená) (5/4) (barva x (červená) (7/10)) ^ 2 + barva (modrá) (11/80) #

což je naše požadovaná vertexová forma s vertexem na # (barva (červená) (7/10), barva (modrá) (11/80)) #

Pro účely ověření je zde graf původní rovnice:

Odpovědět:

# y = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #

Vysvětlení:

# "rovnice parabola v" barvě (modrá) "vertex form # # je.

#color (červená) (bar (ul (| barva (bílá) (2/2) barva (černá) (y = a (x-h) ^ 2 + k) barva (bílá) (2/2) |))) #

# "kde" (h, k) "jsou souřadnice vrcholu a" # #

# "je násobitel" #

# "vyjádřit" 5x ^ 2-7x + 3 "v tomto formuláři" #

# "použít metodu" barva (modrá) "vyplnění čtverce" #

# • "koeficient" x ^ 2 "musí být 1" #

# rArr5 (x ^ 2-7 / 5x + 3/5) #

# • "add / subtract" (1/2 "koeficientu x-termu") ^ 2 "na" #

# x ^ 2-7 / 5x #

# 5 (x ^ 2 + 2 (-7/10) xcolor (červená) (+ 49/100) barva (červená) (- 49/100) +3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 5 (-49 / 100 + 3/5) #

# = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArr4y = 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

# rArry = 1/4 5 (x-7/10) ^ 2 + 11/20 #

#color (bílá) (rArry) = 5/4 (x-7/10) ^ 2 + 11/80 #