Odpovědět:
Žádná řešení # RR #.
Vysvětlení:
Nejprve se trochu zjednodušíme:
Tak jako # e ^ x # a #ln (x) # jsou inverzní funkce, # e ^ ln (x) = x # stejně jako #ln (e ^ x) = x #. To znamená, že můžete svůj třetí logaritmický termín zjednodušit:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Vaším dalším cílem je přinést všechny # log # funkce na stejném základě, takže máte možnost použít logaritmická pravidla a zjednodušit je.
Logaritmovou základnu můžete změnit následovně:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Použijte toto pravidlo pro změnu základny #8# z # log_8 # a základny #32# z # log_32 # na bázi #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Nyní můžeme spočítat # log_2 (8) = 3 # a # log_2 (32) = 5 #
(v případě, že to není jasné, můžu to rozdělit, abych si byl jistý: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
To nás vede k následující, jednodušší, logaritmické rovnici:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… násobit obě strany #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Nyní jsme připraveni použít logaritmická pravidla:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # a #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Cílem je mít jen jednu # log # termín na levé straně. Pojďme na to.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3 = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
V tomto bodě se můžeme zbavit # log_2 (a) # použitím inverzní funkce # 2 ^ a # na obě strany rovnice.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Bohužel musím přiznat, že jsem v tomto okamžiku uvízl, protože nevím, jak tuto rovnici vyřešit.
Vykreslování #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # říká mi, že tato rovnice nemá žádná řešení # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Doufám, že to trochu pomohlo!
