Jaký je sklon tečné čáry r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) při theta = (pi) / 4?

Odpovědět:

Svah je #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Vysvětlení:

Zde je odkaz na tangenty s polárními souřadnicemi

Z odkazu získáme následující rovnici:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Musíme spočítat # (dr) / (d theta) # ale pozor, prosím #r (theta) # lze zjednodušit pomocí identity #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) = (g '(theta) h (theta) - h' (theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sek ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Podívejme se na výše uvedené # pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pi) / (pi ^ 2) #

Vyhodnotit r at # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Poznámka: Výše uvedený jmenovatel jsem udělal # pi ^ 2 # tak, aby byl společný s jmenovatelem # r '# a proto bychom je zrušili, když je vložíme do následující rovnice:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

V # pi / 4 # sininy a kosiny jsou stejné, proto se zruší.

Jsme připraveni napsat rovnici pro svah, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #