Jaký je rozsah y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Nejdříve se podívejme na doménu:

Pro jaké hodnoty #X# je funkce definována?

Čitatel # (1-x) ^ (1/2) # je definován pouze tehdy, když # (1-x)> = 0 #. Přidání #X# na obou stranách toho najdete #x <= 1 #.

Rovněž požadujeme, aby jmenovatel byl nenulový.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # je nula, když #x = -1 / 2 # a kdy #x = -1 #.

Takže doména funkce je

# {x v RR: x <= 1 a x! = -1 a x! = -1/2} #

Definovat #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # v této doméně.

Uvažujme každý spojitý interval v doméně zvlášť:

V každém případě nechť #epsilon> 0 # být malé kladné číslo.

Případ (a): #x <-1 #

Pro velké záporné hodnoty #X#, #f (x) # je malý a pozitivní.

Na druhém konci tohoto intervalu, pokud #x = -1 - epsilon # pak

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # tak jako #epsilon -> 0 #

Tak pro #x <-1 # rozsah #f (x) # je # (0, + oo) #

Případ (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # tak jako #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Tak pro # -1 / 2 <x <= 1 # rozsah #f (x) # je # 0, + oo #

Případ (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # tak jako #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # tak jako #epsilon -> 0 #

Zajímavou otázkou tedy je, jaká je maximální hodnota #f (x) # v tomto intervalu. Chcete-li zjistit hodnotu #X# pro které k tomu dochází, aby derivace byla nulová.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

To bude nulové, když je čitatel nula, takže bychom chtěli vyřešit:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3) = 0 #

Vynásobte pomocí # 2 (1-x) ^ (1/2) # dostat:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

To je:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

který má kořeny # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Z těchto kořenů #x = (5-sqrt (194)) / 12 # spadá do daného intervalu.

Nahraďte toto místo zpět #f (x) # najít maximální hodnotu #f (x) v tomto intervalu (přibližně -10).

To mi připadá složité. Udělal jsem nějaké chyby?

Odpovědět: Rozsah funkce je # (- oo, -10,58 uu 0, oo #

Pro #x v (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Pro #x in (-1, -0,5) # #-># #y in (-oo, -10,58 #

Pro #x in (-0,5, 1 # #-># #y v 0, oo #