Nechť f (x) = x-1. 1) Ověřte, že f (x) není ani sudé ani liché. 2) Lze f (x) zapsat jako součet sudé funkce a liché funkce? a) Pokud ano, vystavte řešení. Existuje více řešení? b) Pokud ne, ukažte, že to není možné.

Nechat #f (x) = | x -1 |.

Kdyby byly f, pak #f (-x) # by se rovnalo #f (x) # pro všechny x.

Kdyby bylo f liché, pak #f (-x) # by se rovnalo # -f (x) # pro všechny x.

Všimněte si, že pro x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Protože 0 není rovno 2 nebo -2, f není ani sudé ani liché.

Může být napsáno jako #g (x) + h (x) #, kde g je sudé a h je liché?

Kdyby to tak byla pravda #g (x) + h (x) = | x - 1 |. Volejte toto prohlášení 1.

Nahraďte x za -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 |

Protože g je sudý a h je lichý, máme:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | Zavolejte toto prohlášení 2.

Uvedení prohlášení 1 a 2 dohromady, to vidíme

#g (x) + h (x) = | x - 1 |

#g (x) - h (x) = | -x - 1 |

PŘIDEJTE TY, abyste získali

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 |

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

To je od té doby skutečně dokonce #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Z prohlášení 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 |

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 |

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

To je opravdu divné, protože

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.