Proč nemůžeme integrovat x ^ x?

Odpovědět:

Nemáme pro to pravidlo.

Vysvětlení:

V integrálech máme standardní pravidla. Pravidlo proti řetězci, pravidlo proti výrobku, pravidlo proti moci a tak dále. Ale nemáme funkci pro funkci, která má #X# jak v základně, tak v síle. Můžeme si to odvodit, ale snaha o jeho integraci je nemožná z důvodu nedostatku pravidel, s nimiž by pracovala.

Pokud otevřete Desmos Graphing Calculator, můžete se pokusit připojit

# int_0 ^ x a ^ ada #

a bude to v pořádku. Pokud se však pokusíte použít pravidlo anti-power nebo anti-exponent pro graf proti němu, uvidíte, že selže. Když jsem se ho snažil najít (na čem stále pracuji), mým prvním krokem bylo dostat se z tohoto formuláře do následujících částí:

# inte ^ (xln (x)) dx #

To nám v podstatě umožňuje použít pravidla kalkulu o něco lépe. Ale i když používáte Integration by Parts, nikdy se neodstraníte integrálu. Proto ve skutečnosti nedostanete funkci, která by to určovala.

Ale jako vždy v matematice, je to zábava experimentovat.Tak jděte do toho a zkuste to, ale ne příliš dlouho nebo tvrdě, dostanete se do tohoto králičího otvoru.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

#y = x ^ x # lze integrovat. Například

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

další věc je mít nyní dny, funkci #f (x) # který představuje v uzavřené formě primitivní pro # x ^ x # nebo jinými slovy

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Kdyby to byla funkce běžného použití v technicko-vědeckých problémech, jistě bychom vymysleli odlišený název a symbol, abychom s ním mohli manipulovat. Stejně jako Lambertova funkce definovaná jako

#W (x) = x e ^ x #

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

Jak naznačil Cesareo (bez povšimnutí), v „nemůžeme se integrovat“ existuje určitá nejednoznačnost.

Funkce #f (x) = x ^ x # je nepřetržitý # (0, oo) #

a dále # 0, oo # pokud to uděláme #f (0) = 1 #Tak to udělejme. Proto je definitivní integrál

# int_a ^ b x ^ x dx # existuje pro všechny # 0 <= a <= b #

Dále, základní teorém calulus nám říká, že tato funkce # int_0 ^ x t ^ t dt # má derivát # x ^ x # pro #x> = 0 #

To, co nemůžeme udělat, je vyjádřit tuto funkci v pěkné, konečné, uzavřené formě algebraických výrazů (nebo dokonce dobře známých transcendentálních funkcí).

Existuje mnoho věcí v matematice, které nemohou být vyjádřeny s výjimkou ve formě, která umožňuje postupně lepší přiblížení.

Například:

Číslo, jehož čtverec je #2# nelze vyjádřit v desetinné nebo zlomkové formě pomocí konečného výrazu. Dáme mu tedy symbol, # sqrt2 # a aproximujte ji na libovolnou míru přesnosti.

Poměr obvodu k průměru kružnice nemůže být konečně vyjádřený konečnou algebraickou kombinací celých čísel, tak my dáváme to jméno, # pi # a aproximujte ji na libovolnou míru přesnosti.

Řešení # x = cosx # také může být aproximována na jakýkoliv požadovaný stupeň přesnosti, ale nemůže být konečně vyjádřena. Toto číslo není (možná) dost důležité na to, abychom dostali jméno.

Jak řekl Cesareo, je-li integrál # x ^ x # měl mnoho žádostí, matematici by pro něj přijali jméno.

Výpočty však stále vyžadují nekonečnou aproximaci.