Odpovědět:
# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Vysvětlení:
Vzhledem k tomu, že tato kvartika nemá racionální kořeny (a nemohu se obtěžovat vzorce), začneme pomocí aproximace Newtonovy metody:
# x ~ ~ -0.303 #
# x ~ ~ -0,618 #
# x ~ ~ 1.618 #
# x ~ ~ 3.303 #
Z toho zjistíme # x ~ ~ -0,618 # a # x ~ ~ 1.618 # vyčnívat. Poznáváme je jako zlatý poměr:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 #
Můžeme také ověřit, že se jedná o kořeny tím, že je zapojíme do rovnice, ale můžete si vzít jen moje slovo, že jsou skutečně kořeny.
To znamená, že faktor rovnice je následující:
# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = x ^ 2-x-1 #
Protože, víme # x ^ 2-x-1 # je faktor, můžeme použít polynomiální dlouhé dělení k nalezení zbytku a přepsat rovnici tak, jako je:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
Už jsme přišli na to, když se levý faktor rovná nule, takže se nyní díváme na pravou. Můžeme vyřešit kvadratické použití kvadratického vzorce pro získání:
# x = (3 + -sqrt13) / 2 #
