Funkce f (x) = sin (3x) + cos (3x) je výsledkem řady transformací, z nichž první je horizontálním posunem funkce sin (x). Která z nich popisuje první transformaci?

Odpovědět:

Můžeme získat graf # y = f (x) # z # ysinx # použitím následujících transformací:

• horizontální překlad # pi / 12 # radiánů doleva

• protáhnout #Vůl# s měřítkovým faktorem #1/3# Jednotky

• protáhnout # Oy # s měřítkovým faktorem #sqrt (2) # Jednotky

Vysvětlení:

Zvažte funkci:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Předpokládejme, že můžeme napsat tuto lineární kombinaci sinusové a kosinové jako jednofázovou posunutou sinusovou funkci, kterou předpokládáme:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

V tomto případě porovnáním koeficientů # sin3x # a # cos3x # my máme:

# Acos alfa = 1 t a #Inalin = 1 #

Vyrovnáním a přidáním máme:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Rozdělením máme:

# tan alfa => alfa = pi / 4 #

Můžeme tedy psát, #f (x) # ve formě:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Můžeme tedy získat graf # y = f (x) # z # ysinx # použitím následujících transformací:

• horizontální překlad # pi / 12 # radiánů doleva
• protáhnout #Vůl# s měřítkovým faktorem #1/3# Jednotky
• protáhnout # Oy # s měřítkovým faktorem #sqrt (2) # Jednotky

Co můžeme vidět graficky:

Graf # y = sinx #:

graf {sinx -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sin (x + pi / 12) #:

graf {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graf {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Graf # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graf {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

A konečně graf původní funkce pro porovnání:

graf {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}