Jaká je druhá odmocnina 82?

Odpovědět:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~ ~ 9.0554 #

Vysvětlení:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # pro #n -> oo #

S je číslo, které přibližujete jeho kořen sqaure. V tomto případě # S = 82 #

To, co to znamená a jak se používá:

Nejdřív si vezměte odhad, jaká by mohla být druhá odmocnina 82?

druhá odmocnina 81 je 9, takže musí být více než 9 vpravo?

Náš odhad bude #x_ "0" #řekněme 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Vložení 9.2 jako "x" do vzorce nám dá #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Toto bude další číslo, které vložíme do rovnice. To proto, že jsme začali s odhadem 9,2 = #x_ "0" #, to nám dalo číslo #x_ "1" #, vložení tohoto čísla nám dá #x_ "2" #, který nám dá #x_ "3" # a tak dále, vždy, když nám vložíme předchozí číslo. Pravá strana rovnice označené „#->#"znamená, že když se" n "zvětší a zvětší, číslo se také přiblíží a přiblíží druhé odmocnině S, v tomto případě 82.

Řekněme, že jsme provedli stejný výpočet 100 krát! Pak bychom měli #x_ "100" #. Toto číslo by bylo velmi blízké druhé odmocnině S.

Dost mluvení, pojďme udělat nějaké skutečné výpočty!

Začneme s naším odhadem #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~ ~ 9,05652 #

Nyní udělejte totéž s novým číslem: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~ ~ 9.05549 #

Udělejme to naposledy: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~ ~ 9.0554 #

To znamená # sqrt82 ~ ~ 9.0554 #

A tady to máte!

Promiň, jestli všechny mé rozhovory byly nepříjemné. Snažil jsem se to vysvětlit do hloubky a jednoduchým způsobem, což je vždy příjemné, pokud nejste obeznámeni s určitou oblastí matematiky. Nevidím, proč někteří lidé musí být při vysvětlení matematiky tak nóbl:)

Odpovědět:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~ ~ 9.0553851381374 #

Vysvětlení:

Primární faktorizace #82# je:

#82 = 2*41#

Protože neexistují žádné čtvercové faktory, #sqrt (82) # nelze zjednodušit. Je to iracionální číslo o něco větší než #9#.

Všimněte si však, že #82=81+1 = 9^2+1#.

Protože toto je formy # n ^ 2 + 1 #, druhá odmocnina má velmi pravidelnou formu jako pokračující zlomek:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) # #

Obecněji:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #)

Obecněji:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #)

V každém případě můžeme použít pokračující zlomek k získání racionálních aproximací #sqrt (82) # zkrácením.

Například:

#sqrt (82) ~ ~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~ ~ 9,05538513974 #

Kalkulačka mi říká, že:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Takže můžete vidět, že naše aproximace jsou přesné na přibližně tolik platných číslic jako celkový počet číslic v kvocientu.