Otázka # e8044

Otázka # e8044
Anonim

Odpovědět:

(11+cotx)dx=

12ln(tan2(x2)+1tan2(x2)2tan(x2)1)+x2+K

Vysvětlení:

Od daného (11+lůžkox)dx

Pokud je integrand racionální funkcí trigonometrických funkcí, substituce z=tan(x2)nebo jeho ekvivalent

sinx=2z1+z2 a cosx=1z21+z2 a

dx=2dz1+z2

Řešení:

(11+lůžkox)dx

(11+cosxsinx)dx

(sinxsinx+cosx)dx

2z1+z2(2z1+z2+1z21+z2)(2dz1+z2)

Zjednodušit

2z1+z2(2z1+z2+1z21+z2)(2dz1+z2)

4z(z2+2z+1)(z2+1)dz

4z(z2+1)(z22z1)dz

V tomto okamžiku použijte dílčí zlomky a pak integrujte

4z(z2+1)(z22z1)dz=(Az+Bz2+1+Cz+Dz22z1dz

Nejdřív děláme dílčí zlomky

4z(z2+1)(z22z1)=Az+Bz2+1+Cz+Dz22z1

4z(z2+1)(z22z1)=(Az+B)(z22z1)+(Cz+D)(z2+1)(z2+1)(z22z1)

Rozbalte pravou stranu rovnice

4z(z2+1)(z22z1)=

Az32Az2Az+Bz22BzB+Cz3+Dz2+Cz+D(z2+1)(z22z1)

Nastavte rovnice

0z3+0z24z+0z0(z2+1)(z22z1)=

(A+C)z3+(2A+B+D)z+(A2B+C)z+(B+D)z0(z2+1)(z22z1)

Rovnice jsou

A+C=0

2A+B+D=0

A2B+C=4

B+D=0

Výsledkem je současné řešení

A=1 a B=1 a C=1 a D=1

Nyní můžeme integraci udělat

4z(z2+1)(z22z1)dz=(Az+Bz2+1+Cz+Dz22z1)dz=(z+1z2+1+z+1z22z1dz=

122zz2+1dz+dzz2+1122z2z22z1dz

=12ln(z2+1)+tan1z12ln(z22z1)

=12ln(z2+1z22z1+tan1z

Vrátíme ji do původní proměnné X použitím z=tan(x2) pro konečnou odpověď.

(11+cotx)dx=

12ln(tan2(x2)+1tan2(x2)2tan(x2)1)+x2+K

kde K= integrace

Bůh žehnej … Doufám, že vysvětlení je užitečné.