Poměr dvou kladných reálných čísel je p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2), poté najděte poměr AM a GM?

Odpovědět:

# p / q #.

Vysvětlení:

Nechť nos. být #x a y, "kde, x, y" v RR ^ + #.

Podle toho, co je dáno, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "say" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) a y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Teď DOPOLEDNE #A# z # x, y # je, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, a jejich

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Jasně, # "požadovaný poměr" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Odpovědět:

# p / q #

Vysvětlení:

Budu používat stejný zápis jako v této odpovědi. Ve skutečnosti neexistuje žádné reálné nutnost tohoto řešení (protože problém již byl vyřešen docela pěkně) - až na to, že ilustruje použití techniky, kterou mám moc rád!

Podle problému

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

S použitím compendo a dividendo (to je oblíbená technika, kterou jsem zmínil výše) dostaneme

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) znamená #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) znamená #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) implikuje #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 znamená #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• který je požadovaný poměr AM: GM.