Otázka gravitace?

a) U předmětu hmotnosti # m = 2000 kg # pohybující se v kruhové dráze o poloměru # r # rychlostí # v_0 # kolem země hmoty # M # (ve výšce # h # z # 440 t), oběžná doba # T_0 # je dán Keplerovým třetím zákonem.

# T_0 ^ 2 = (4pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

kde #G# je univerzální gravitační konstanta.

Z hlediska nadmořské výšky kosmických lodí

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Vkládáme různé hodnoty

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.37xx10 ^ 6 + 4.40xx10 ^ 5) ^ 3) # 3

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591.0 t

(b) Centripetální síla je vyvážena gravitační silou. Výraz se stává

# (mv_0 ^ 2) / r = (GMm) / r ^ 2 #

# => v_0 = sqrt ((GM) / r) #

Alternativně pro kruhovou dráhu

# v_0 = romega #

# => v_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Vkládání různých hodnot v alternativním vyjádření

# v_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 t

(c) Kinetická energie Picardovy kosmické lodi těsně po výstřelu

# E_K = 1 / 2mv ^ 2 #

Vkládáme různé hodnoty

# E_K = 1/2 (2000) ((100-1,30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10

(d) Současná potenciální energie této kosmické lodi

#E_P = - (GMm) / (r) #

Vkládáme různé hodnoty

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11

e) Celková energie # E_T = E_P + E_K #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6.0xx10 ^ 10

f) Poloviční #A# osa je dána vztahem

#E_T = - (GMm) / (2a) #

# => a = - (GMm) / (2E_T) #

Vkládáme dané hodnoty

# => a = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6 t

(g) Nová orbitální doba # T # se nachází z výrazu

# T ^ 2 = (4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395.1 t

(h) Picard je nyní rychlejší než Igor

# DeltaT = 5591,0-5395,1 = 195,9

Když dorazil první na místě # P # byl # 84.0 t za. Teď dřív

# 195.9-84.0 = 111.9