Jak najdete hřích (x / 2), cos (x / 2) a tan (x / 2) z dané Cot (x) = 13?

Odpovědět:

Ve skutečnosti existují čtyři hodnoty # x / 2 # na jednotce kruhu, takže čtyři hodnoty pro každou funkci trig. Hlavní hodnota polovičního úhlu je kolem # 2.2 ^ circ.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Podívejte se prosím na vysvětlení pro ostatní.

Vysvětlení:

Pojďme si nejdříve promluvit o odpovědi. Existují dva úhly na jednotce kruhu, jehož kotangent je #13#. Jeden je kolem # 4,4 ^ circ #a další je to plus # 180 ^ circ #, zavolej to # 184,4 ^ circ #. Každý z nich má dva poloviční úhly, opět oddělené # 180 ^ circ. První z nich má poloviční úhly # 2,2 ^ circ # a # 182.2 ^ circ #druhá má poloviční úhly # 92.2 ^ circ # a # 272,2 ^ circ #, Tak tam jsou opravdu čtyři poloviny úhly v pochybnost, s různými, ale souvisejícími hodnotami pro jejich trig funkce.

Výše uvedené úhly použijeme jako aproximace, takže pro ně máme jména.

Úhly s kotangensem 13:

#text {Arc} text {postýlka} 13 cca 4,4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {postýlka} 13 cca 184,4 ^ circ #

Poloviční úhly:

# 1/2 text {Arc} text {postýlka} 13 cca 2,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) cca 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) cca 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) cca 272,2 ^ circ #

OK, vzorce dvojitého úhlu pro kosinus jsou:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

takže odpovídající vzorce polovičního úhlu jsou

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

To je vše předběžné. Udělejme problém.

Nejdřív uděláme ten malý úhel, # 2.2 ^ circ. Vidíme, že ostatní jsou jen násobky # 90 ^ circ # nad to, takže můžeme získat jejich trig funkce z tohoto prvního úhlu.

Kohoutek 13 je svažitý #1/13# odpovídá pravému trojúhelníku s protilehlým #1#, přilehlý #13# a hypotéza #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4,4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Nyní aplikujeme vzorce polovičního úhlu. Pro náš úzký úhel v prvním kvadrantu volíme pozitivní signály.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4,4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Mohli bychom se snažit zjednodušit a přesunout zlomky mimo radikál, ale nechám to tady.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4,4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Úhlový poloviční úhel je kvocientem těchto, ale je jednodušší

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, to je všechno těžké, ale nezapomeňme na další úhly.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2,2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182,2 ^ circ = -sin 2,2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182,2 ^ circ = tan 2,2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Nyní máme zbývající úhly, které vyměňují sinusové a kosinové, překlápěcí značky. Nebudeme opakovat formuláře kromě tečny.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2,2 ^ circ #

#sin 92,2 ^ circ = cos 2,2 ^ circ #

# tan 92,2 ^ circ = -1 / {tan 2,2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2,2 ^ circ #

#sin 272,2 ^ circ = - cos 2,2 ^ circ #

# tan 272,2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Phew.

Odpovědět:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Vysvětlení:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + postel ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + postýlka ^ 2 (x / 2) #

Ale víš #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Když #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

Když #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #