Tři Řekové, tři Američané a tři Italové sedí náhodně kolem kulatého stolu. Jaká je pravděpodobnost, že lidé ve třech skupinách sedí spolu?

Odpovědět:

#3/280#

Vysvětlení:

Pojďme spočítat, jak by mohly být všechny tři skupiny sedící vedle sebe, a porovnat je s počtem způsobů, jakými může být všech 9 náhodně umístěno.

Budeme počítat lidi 1 až 9 a skupiny #A, G, I. #

#stackrel Overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Existují 3 skupiny, takže tam jsou #3! = 6# způsoby uspořádání skupin v řádku bez narušení jejich vnitřních příkazů:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Dosud nám to dává 6 platných permuací.

V každé skupině jsou 3 členové, takže tam jsou opět #3! = 6# způsoby uspořádání členů v každé ze tří skupin:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

V kombinaci se 6 způsoby uspořádání skupin máme nyní #6^4# platné permutace.

A protože jsme u kulatého stolu, dovolíme, aby 3 uspořádání, kde by první skupina mohla být "polovina" na jednom konci a "polovina" na druhé straně:

# "A A A G G G I I I" #

# "A A G G I I I I" #

# "A G G G I I I A A" #

Počet celkových způsobů, jak dostat všechny 3 skupiny k sobě, je # 6 ^ 4 xx 3. # #

Počet náhodných způsobů, jak uspořádat všech 9 lidí #9!#

Pravděpodobnost náhodného výběru jednoho z "úspěšných" způsobů je pak

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#