Je známo, že rovnice bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 má jeden skutečný kořen. Prokázat, že rovnice x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nemá žádné skutečné kořeny.?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Kořeny # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # jsou

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Kořeny budou shodné a skutečné, pokud

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

nebo

# a = b # nebo #a = 5b #

Nyní řešíme

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # my máme

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Podmínkou pro komplexní kořeny je

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

nyní #a = b # nebo #a = 5b # my máme

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Závěrem, pokud # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # má pak shodné skutečné kořeny # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # bude mít komplexní kořeny.

Dostali jsme, že rovnice:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

má jeden opravdový kořen, proto je diskriminační rovnice nula:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, nebo # a = 5b #

Snažíme se ukázat rovnici:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nemá žádné skutečné kořeny. To by vyžadovalo negativní diskriminaci. Diskriminační pro tuto rovnici je:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Podívejme se nyní na dva možné případy, které splňují první rovnici:

Případ 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 # #

Případ 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 # #

Proto jsou podmínky první rovnice takové, že druhá rovnice má vždy negativní diskriminaci, a proto má komplexní kořeny (tj. Žádné skutečné kořeny), QED