Nechť G je cyklická skupina a G = 48. Jak najdete celou podskupinu G?

Odpovědět:

Všechny podskupiny jsou cyklické, s dělením řádů #48#

Vysvětlení:

Všechny podskupiny cyklické skupiny jsou samy cyklické, s příkazy, které jsou děliteli řádu skupiny.

Chcete-li vidět proč, předpokládejme # G = <a> # je cyklický s objednávkou # N # a #H sube G # je podskupina.

Li # a ^ mv H # a # a ^ nv H #, tak je # a ^ (pm + qn) # pro všechna celá čísla #p, q #.

Tak # a ^ kv H # kde #k = GCF (m, n) # a oba # a ^ m # a # a ^ n # jsou v # <a ^ k> #.

Zejména pokud # a ^ kv H # s #GCF (k, N) = 1 # pak #H = <a> = G #.

Také ne #mn = N # pak # <a ^ m> # je podskupina #G# s objednávkou # n #.

Můžeme odvodit:

• # H # nemá víc než #1# generátor.
• Pořadí # H # je faktorem # N #.

V našem příkladu #N = 48 # a podskupiny jsou izomorfní k:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

bytost:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #