Jaká je druhá derivace (f * g) (x), pokud f a g jsou takové funkce, že f '(x) = g (x) a g' (x) = f (x)?

Odpovědět:

# (4f * g) (x) #

Vysvětlení:

Nechat #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Poté použijte pravidlo produktu:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Pomocí podmínky uvedené v otázce dostaneme:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Nyní používejte pravidla napájení a řetězce:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Opětovným použitím zvláštní podmínky této otázky píšeme:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Odpovědět:

Další odpověď v případě # f * g # Pod pojmem "složení" se rozumí složení #F# a #G#

Vysvětlení:

Chceme najít druhou derivaci # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Rozlišujeme jednou pomocí pravidla řetězu.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Pak znovu rozlišujeme pravidla produktového řetězce

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #