Zobrazit, že int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Odpovědět:

Viz vysvětlení

Vysvětlení:

Chceme ukázat

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Jedná se o zcela "ošklivý" integrál, takže náš přístup nebude řešit tento integrál, ale srovnávat ho s "hezším" integrálem.

Teď to pro všechna pozitivní reálná čísla #color (červená) (sin (x) <= x) #

Hodnota integrandu bude tedy také větší, pro všechna kladná reálná čísla, pokud nahradíme # x = sin (x) #, takže jestli to dokážeme ukázat

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Naše první prohlášení musí být také pravdivé

Nový integrál je jednoduchý substituční problém

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Posledním krokem je to všimnout #sin (x) = x => x = 0 #

Můžeme tedy uzavřít

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #