Nechť 5a + 12b a 12a + 5b jsou boční délky pravoúhlého trojúhelníku a 13a + kb je přepona, kde a, b a k jsou kladná celá čísla. Jak zjistíte nejmenší možnou hodnotu k a nejmenší hodnoty a a b pro k?

Odpovědět:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Vysvětlení:

Podle Pythagorovy věty máme:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

To je:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (bílá) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Odečtěte levou stranu od obou konců a najděte:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (bílá) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Od té doby #b> 0 # požadujeme:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Od té doby #a, b> 0 # požadujeme # (240-26k) # a # (169-k ^ 2) # mít opačné znamení.

Když #k in 1, 9 # oba # 240-26k # a # 169-k ^ 2 # jsou pozitivní.

Když #k in 10, 12 # shledáváme # 240-26k <0 # a # 169-k ^ 2> 0 # podle potřeby.

Takže minimální možná hodnota # k # je #10#.

Pak:

# -20a + 69b = 0 #

Od té doby #20# a #69# nemají větší společný faktor než #1#, minimální hodnoty #A# a # b # jsou #69# a #20# resp.