Jak byste integrovali int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Odpovědět:

Tento integrál neexistuje.

Vysvětlení:

Od té doby #ln x> 0 # v intervalu # 1, e #, my máme

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

zde, takže integrál se stává

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Nahradit #ln x = u #, pak # dx / x = du # aby

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Jedná se o nevhodný integrál, protože integrand se odchyluje na dolní hranici. Toto je definováno jako

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

pokud existuje. Nyní

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

protože toto se liší v limitu #l -> 0 ^ + #, integrál neexistuje.

Odpovědět:

# pi / 2 #

Vysvětlení:

Integrál # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Jako první # u = ln (x) # a # "d" u = ("d" x) / x #.

Máme tedy

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Nyní, náhradník # u = sin (v) # a # "d" u = cos (v) "d" v #.

Pak, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) d = v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # od té doby # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Pokračujeme, máme

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #