Nechť vec (x) je vektor, takový, že vec (x) = ( 1, 1), "a nechť" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], tj. Rotace Operátor. Pro theta = 3 / 4pi najdi vec (y) = R (theta) vec (x)? Vytvořte náčrtek zobrazující x, y a θ?

Ukázalo se, že jde o otáčení proti směru hodinových ručiček. Dokážete odhadnout, kolik stupňů?

Nechat #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # být lineární transformací, kde

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Všimněte si, že tato transformace byla reprezentována jako transformační matice #R (theta) #.

Co to znamená, je # R # je rotační matice, která představuje rotační transformaci, můžeme ji násobit # R # podle # vecx # k provedení této transformace.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Pro # MxxK # a # KxxN # matice, výsledek je #color (zelená) (MxxN) # matice, kde # M # je řádek rozměr a # N # je sloupec dimenze. To je:

# (y_ (11), y_ (12),…, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22),…, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2),…, y_ (mn)) # #

# = (R_ (11), R_ (12), …, R (1k), (R_ (21), R_ (22),…, R_ (2k)), (vdoty, vdoty, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2),…, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12),…, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22),…, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2),…, x_ (kn)) #

Proto pro a # 2xx2 # matice násobená a # 1xx2 #, musíme transponovat vektor, abychom získali a # 2xx1 # sloupec vektor, což nám dává odpověď, která je #hhff (2xx1) # sloupcový vektor.

Vynásobením těchto dvou hodnot:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Dále můžeme připojit #theta = (3pi) / 4 # (který předpokládám, že je správný úhel) získat:

#color (modrá) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) # #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) # #

# = barva (modrá) ((0), (- sqrt2)) #

Podívejme se nyní, abychom zjistili, jak to vypadá. Můžu říct, že je to proti směru hodinových ručičekpo stanovení transformovaného vektoru.

Opravdu, proti směru hodinových ručiček #135^@#.

VÝZVA: Možná můžete zvážit, co se stane, když je matice # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # místo toho. Myslíte si, že to bude ve směru hodinových ručiček?