Odpovědět:
Aby byla třetí strana nejkratší, požadujeme # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (a to #A# a # b # mají stejné označení).
Vysvětlení:
Nejdelší strana pravého trojúhelníku je vždy přepona. Takže víme, že délka odlivu je # a ^ 2 + b ^ 2. #
Nechť je neznámá délka strany #C.# Pak z Pythagorovy věty víme
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
nebo
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (bílá) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (bílá) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (bílá) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (bílá) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Požadujeme také, aby všechny délky stran byly kladné
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 nebo b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 nebo a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Teď, pro žádný trojúhelník, nejdelší strana musí být kratší než součet ostatních stran. Takže máme:
#color (bílá) (=>) 2ab + "" c barva (bílá) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab barva (bílá) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," pokud b> 0), (a <b "," pokud b <0):} #
Dále, aby byla třetí strana nejmenší, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
nebo # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # nebo # a-b <sqrt2b # nebo #a <b (1 + sqrt2) #
Kombinace všech těchto omezení, můžeme odvodit, že aby třetí strana byla nejkratší, musíme mít # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb a (a, b <0 nebo a, b> 0).
