Nechť phi_n je správně normalizovaná n-tická energetická vlastní funkce harmonického oscilátoru a nechť psi = hatahata ^ (†) phi_n. Co se rovná psi?

Zvažte harmonický oscilátor Hamiltonian …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

Nyní definujte substituci:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt (muomega) #

To dává:

#hatH = 1 / (2mu) (hatp "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'" ^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

Dále zvažte substituci, kde:

#hatx "''" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "''" = (hatp "'") / sqrt (ℏ) #

aby # hatx "'', hatp" '' " = hatx" '' "hatp" '' "- hatp" '' "hatx" '' "= i #. To dává:

#hatH = omega / 2 (hatp "'" "^ 2cdotℏ + hatx"' '"^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp "'" "^ 2 + hatx"' "" ^ 2) #

Od té doby #hatp "''" ^ 2 # a #hatx "''" ^ 2 # lze začlenit do produktu komplexních konjugátů, definovat operátory žebříku

#hata = (hatx "''" + ihatp "''") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "''" - ihatp "''") / sqrt2 #

aby:

# hatahata ^ (†) = (hatx "'" "^ 2 - ihatx"' '"hatp"' "" + ihatp "'" "hatx"' "" + hatp "''" ^ 2) / 2 #

# = (hatx "''" ^ 2 + hatp "'" "^ 2) / 2 + (i hatp"' '", hatx"' '" / 2 #

Od té doby # - hatx "''", hatp "''" = hatp "''", hatx "''" = -i #, nejpravděpodobnější termín je #1/2#. Inspekcí,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

Lze to ukázat # hata, hata ^ (†) = 1 #, tak

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

a tak:

#color (zelená) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

Zde poznáváme formu energie být:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

protože z této formy je zřejmé, že

#hatHphi_n = Ephi_n #,

prostě to máme

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

Tedy operátor lze definovat jako:

#hatN = hata ^ (†) hata #

jehož vlastní číslo je kvantové číslo # n # pro tento eigenstate.

Proto,

#color (blue) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = barva (modrá) ((1 + n) phi_n) #