Nechť phi_n je správně normalizovaná n-tická energetická vlastní funkce harmonického oscilátoru a nechť psi = hatahata ^ (†) phi_n. Co se rovná psi?

Nechť phi_n je správně normalizovaná n-tická energetická vlastní funkce harmonického oscilátoru a nechť psi = hatahata ^ (†) phi_n. Co se rovná psi?
Anonim

Zvažte harmonický oscilátor Hamiltonian …

hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 ˆH=ˆp22μ+12μω2ˆx2

= 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) =12μ(ˆp2+μ2ω2ˆx2)

Nyní definujte substituci:

hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ˆx'=ˆxμω' '' '' 'hatp "'" = hatp / sqrt (muomega)

To dává:

hatH = 1 / (2mu) (hatp "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'" ^ 2) / (muomega))

= omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2)

Dále zvažte substituci, kde:

hatx "''" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ' '' '' 'hatp "''" = (hatp "'") / sqrt (ℏ)

aby hatx "'', hatp" '' " = hatx" '' "hatp" '' "- hatp" '' "hatx" '' "= i . To dává:

hatH = omega / 2 (hatp "'" "^ 2cdotℏ + hatx"' '"^ 2cdotℏ)

= 1 / 2ℏomega (hatp "'" "^ 2 + hatx"' "" ^ 2)

Od té doby hatp "''" ^ 2 a hatx "''" ^ 2 lze začlenit do produktu komplexních konjugátů, definovat operátory žebříku

hata = (hatx "''" + ihatp "''") / sqrt2 ' '' '' ' hata ^ (†) = (hatx "''" - ihatp "''") / sqrt2

aby:

hatahata ^ (†) = (hatx "'" "^ 2 - ihatx"' '"hatp"' "" + ihatp "'" "hatx"' "" + hatp "''" ^ 2) / 2

= (hatx "''" ^ 2 + hatp "'" "^ 2) / 2 + (i hatp"' '", hatx"' '" / 2

Od té doby - hatx "''", hatp "''" = hatp "''", hatx "''" = -i , nejpravděpodobnější termín je 1/2. Inspekcí,

hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2)

Lze to ukázat hata, hata ^ (†) = 1 , tak

hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1

=> hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata

a tak:

color (zelená) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2))

Zde poznáváme formu energie být:

E_n = ℏomega (n + 1/2)

protože z této formy je zřejmé, že

hatHphi_n = Ephi_n ,

prostě to máme

ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n

Tedy operátor lze definovat jako:

hatN = hata ^ (†) hata

jehož vlastní číslo je kvantové číslo n pro tento eigenstate.

Proto,

color (blue) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n)

= (1 + hata ^ (†) hata) phi_n

= (1 + hatN) phi_n

= barva (modrá) ((1 + n) phi_n)