20 cm délka šňůry je nakrájena na dva kusy. Jeden z kusů se používá k vytvoření obvodu náměstí?

Odpovědět:

# "Minimální celková plocha = 10.175 cm²." #

# "Maximální celková plocha = 25 cm²." #

Vysvětlení:

# "Jméno x délka kusu k vytvoření čtverce." #

# "Pak je plocha čtverce" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Obvod trojúhelníku je" 20-x "." #

# Pokud je y jedna ze stejných stran trojúhelníku, pak máme # #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => oblast = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Celková plocha =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2)) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Toto je parabole a minimum pro parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "je" x = -b / (2 * a) ", pokud> 0."

# "Maximální hodnota je" x-> oo ", pokud> 0."

# "Takže minimum je" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) # #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Celková plocha =" 10.175 "cm²." #

# "Maximální hodnota je x = 0 nebo x = 20." #

# "Zkontrolujeme oblast:" #

# "Když" x = 0 => "oblast =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17,157 "cm²" #

# "Když" x = 20 => "oblast =" 5 ^ 2 = 25 "cm² # #

# "Maximální celková plocha je 25 cm²."

Odpovědět:

Minimální plocha je #10.1756# a maximum je #25#

Vysvětlení:

Obvod pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku strany #A# je # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # a jeho oblast je # a ^ 2/2 #,

Buď jeden kus #X# cm. z nichž tvoříme pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník. Je zřejmé, že strana pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku by byla # x / (2 + sqrt2) # a jeho oblast by byla

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Obvod další části řetězce, který tvoří čtverec, je # (20-x) # a jako strana náměstí je # (20-x) / 4 # oblasti # (20-x) ^ 2/16 # a celková plocha # T # z obou je

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Pozorujte to # 3-2sqrt2> 0 #, tedy koeficient # x ^ 2 # je pozitivní a proto budeme mít minima a můžeme napsat # T # tak jako

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Tak jako # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # je vždy pozitivní, máme minimální hodnotu # T # když # x = 11.8596 #.

Všimněte si, že teoreticky neexistuje žádná maximální funkce, ale hodnota #X# leží mezi #0,20#, a kdy # x = 0 #, my máme # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

a kdy # x = 20 # když # T = 0,1054 (20-11,8596) ^ 2 + 10,756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

a tedy maxima #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}